यदि int {frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + 1}}{e | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int {\frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + 1}}} \cdot {e^{{{\cot }^{ - 1}}x}}dx$ है।$x = \cot t$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -\csc^2 t \, dt$

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$x$

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(B) माना $I = \int {\frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + 1}}} \cdot {e^{{{\cot }^{ - 1}}x}}dx$ है।$x = \cot t$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -\csc^2 t \, dt$ प्राप्त होता है।चूंकि $1 + \cot^2 t = \csc^2 t$,समाकलन इस प्रकार होगा:$I = \int {\frac{{\cot^2 t - \cot t + 1}}{{\csc^2 t}}} \cdot {e^t} \cdot (-\csc^2 t) \, dt$$I = - \int {e^t} (\cot^2 t - \cot t + 1) \, dt$$I = - \int {e^t} (\csc^2 t - \cot t) \, dt$$I = \int {e^t} (\cot t - \csc^2 t) \, dt$सूत्र $\int {e^t} (f(t) + f'(t)) \, dt = {e^t} f(t) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = \cot t$ और $f'(t) = -\csc^2 t$ है:$I = {e^t} \cot t + C$$t = \cot^{-1} x$ वापस रखने पर:$I = {e^{\cot^{-1} x}} \cdot x + C$इसे $A(x) {e^{\cot^{-1} x}} + C$ के साथ तुलना करने पर,$A(x) = x$ प्राप्त होता है।

यदि $\int {\frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + 1}}{e^{{{\cot }^{ - 1}}x}}dx = A(x) {e^{{{\cot }^{ - 1}}x}} + C}$ है,तो $A(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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निश्चित समाकलन $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} e^{x}\left(\frac{1-\sin x}{1-\cos x}\right) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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